Calculus - 6. Integrals

1. Riemann Sums

Riemann sum이란 특정 구간의 partition에 의해 만들어지는 각각의 subinterval에 대하여 subinterval 내 임의의 점에 대한 함수값과 해당 subinterval의 길이를 곱한 값을 모두 더한 것을 의미한다. 구체적으로는 아래의 설명을 참고한다.

 

여기에서 norm이라는 개념을 정의한다. norm이란 partition에 의해 만들어지는 subinterval의 길이 중 가장 큰 값을 의미한다. norm이 0에 가까이 갈수록 해당 partition으로 구성된 직사각형의 집합은 함수의 그래프와 x축 사이의 영역을 더 정확하게 근사하게 된다.

 

2. The Definite Integral

어떤 partition의 norm이 0에 가까워질 때 Riemann sum의 극한값이 definite integral의 정의가 된다. 

 

definite integral의 기호는 다음과 같다.

integration 대상이 되는 함수를 integrand라고 한다. integration 변수는 dummy variable이라고 하고 어떠한 문자를 사용하든지 값에는 변함이 없다. 만약 definite integral이 존재한다면 Riemann sum은 수렴하고, 해당 구간에서 해당 함수는 integrable하다고 말한다.

 

모든 연속함수는 integrable하다.

 

3. Properties of Definite Integrals

다음은 definite integrals의 특징을 나열한 것이다.

 

Riemann sum을 활용한 정의에서 알 수 있듯이 만약 어떤 구간에서 integrand가 nonnegative라고 한다면 x축과 integrand의 그래프가 이루는 면적의 넓이는 definite integral 값과 같다.

 

그리고 definite integral은 어떤 구간 내에서 함수값의 평균을 구하는 데에도 사용된다.