Calculus - 9. Applications of Definite Integrals(일과 질량중심)

1. 일(Work)의 정의
어떤 물체가 일정한 크기의 힘(force) $F$에 의해 직선 방향으로 $d$만큼 움직였을 때 이 힘이 물체에 한 일 $W$는
$$W=Fd$$

로 표현할 수 있다. 국제단위계(SI unit)에서 힘의 단위는 뉴턴($N$)이고, 거리의 단위는 미터($m$)이며, 일의 단위는 뉴턴-미터($N \cdot m)$이다. 일의 단위는 자주 나오기 때문에 줄($J$)이라는 새로운 명칭이 붙는다. 

만약 힘의 크기가 거리에 따라서 달라진다면 적분을 활용해서 일의 양을 구할 수 있다.

정의. $x=a$부터 $x=b$까지 $x$축을 따라 움직이는 물체에 가해진 힘이 $F(x)$라고 할 때, 힘이 물체에 한 일 $W$는 다음과 같다.
$$W =\displaystyle \int_a^b F(x)\, dx$$

2. 훅의 법칙(Hooke’s Law)
용수철과 같이 탄성이 있는 물체를 잡아당기거나 압축시키기 위해 필요한 힘을 계산해야 할 때가 있다. 훅의 법칙에 따르면 물체의 초기상태에서 물체의 길이를 $x$ 단위만큼 늘리거나 압축시키 위해 필요한 힘은 $x$와 비례하다. 즉,
$$F=kx$$

이다. 이때 상수 $k$는 해당 물체의 고유 특성을 반영하는 상수로서, force constant 또는 spring constant라고 불린다.

3. 유체압력(Fluid Pressure)과 힘
정지해 있는 유체 내에서 깊이가 $h$인 지점의 압력 $p$는 유체의 weight density $w$와 $h$의 곱과 같다:
$$p=wh$$

이 공식에 따르면 깊이가 깊어질수록 압력의 크기는 커진다. 또한 유체의 무게가 무거울수록 압력은 더욱 커진다. 그리고 정지한 유체 내의 같은 깊이에 있다면 모든 방향에서 가해지는 압력의 크기가 동일하다는 점이다. 

따라서 바닥이 평평하고 수평인 용기에 담긴 유체의 경우, 유체가 바닥면에 가하는 전체 힘은 바닥면의 면적과 바닥면의 한 지점에서의 압력을 곱하여 구할 수 있다. 전체 힘은 단위 면적당 힘(압력)과 면적을 곱한 값이기 때문이다. 전체 힘을 $F$, 압력을 $p$, 바닥면의 넓이를 $A$라고 한다면
$$F=pA=whA$$

이다. 

4. Moment of a System과 질량중심(Center of Mass)
받침대가 원점에 놓인 막대 위에 질량 $m_1$, $m_2$, $m_3$가 각각 원점과 $x_1$, $x_2$, $x_3$만큼 떨어져 있을 때 각각이 막대를 회전시키려는 효과 $m_kgx_k$를 torque라고 한다. 관례적으로 positive torque는 시계 반대방향으로 회전하는 것을 말한다. 각각의 torque를 더한 값은 전체 시스템이 원점에 대하여 회전하려는 효과를 나타내는데 이를 system torque라고 한다. 시스템이 평형을 이루기 위해서는 system torque가 0이어야 한다.

torque는 환경적 요인인 중력가속도 $g$와 시스템 자체의 특징인 $m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3$으로 이루어져 있다. 이때 후자를 원점에 대한 moment of the system 이라고 부른다. 이는 개별 질량의 moment인 $m_kx_k$의 합으로 구성된다.
$$M=\text{moment of system about the origin}=\sum m_k x_k$$

우리가 자주 알고 싶은 것은 ‘받침대를 어디에 두어야 이 시스템이 평형(balance)을 이룰 것인가’이다. 이 지점을 질량중심(center of mass)이라고 부르며 다음과 같이 구할 수 있다.
$$\bar{x}=\displaystyle \frac{\sum m_k x_k}{\sum m_k}=\frac{\text{system moment about the origin}}{\text{system mass}}$$

5. 가느다란 철사에서의 질량중심
$x$축 위의 구간 $[a,b]$에 놓인 직선 모양의 가느다란 철사가 있다고 가정하자. 또한 이 철사의 밀도(density)는 균일하지 않고 지점마다 연속적으로 변한다고 가정하자. 점 $x$를 포함하는 철사의 짧은 구간의 길이를 $\Delta x$, 그 구간의 질량을 $\Delta m$이라고 하면, $x$에서의 밀도는
$$\delta(x)=\displaystyle\lim_{\Delta \to 0}\frac{\Delta m}{\Delta x}$$

로 쓸 수 있다. 이 식은 $\delta=dm/dx$로 간략하게 쓸 수 있다.

구간 $[a,b]$를 $n$개의 subinterval $[x_{k-1},x_k]$로 분할한다. $x_k$가 포함되는 구간의 질량은 $\Delta m_k=\delta(x_k)\Delta x$로 나타낼 수 있다. 그렇다면 철사의 전체 질량 $M$과 원점에 대한 moment $M_0$는 다음과 같은 리만 합으로 근사할 수 있다.
$$M \approx \displaystyle \sum_{k=1}^n \Delta m_k=\sum_{k=1}^n \delta(x_k)\,\Delta x_k,$$

$$M_0 \approx \displaystyle \sum_{k=1}^n x_k\Delta m_k = \sum_{k=1}^n x_k \, \delta(x_k)\,\Delta x_k$$

구간의 길이가 0에 가까워지도록 리만 합에 극한을 취하면 다음과 같이 질량중심에 대한 식을 얻게 된다.
$$\bar{x} =\displaystyle \frac{M_0}{M}= \frac{\displaystyle\int_a^b x\,\delta(x)\,dx}{\displaystyle\int_a^b \delta(x)\,dx}$$

6. 평면에서의 질량중심
이제 1차원 막대를 넘어 2차원 평면에서의 질량 분포와 질량중심을 구해 보자. 먼저 평면 위의 점 $(x_k, y_k)$에 질량 $m_k$가 놓여 있는 유한개의 질량 집합이 있다고 생각해 보자. 이 system의 질량은 $M=\sum m_k$이다. 이 system에서 $x$축과 $y$축에 대한 moment는 각각 $M_x = \sum m_k y_k$, $M_y = \sum m_k x_k$이다. 따라서 이 system의 질량중심 $(\bar{x}, \bar{y})$는 다음과 같다.

$$\bar{x}= \displaystyle \frac{M_y}{M}= \frac{\sum m_k x_k}{\sum m_k},$$

$$\bar{y}= \displaystyle \frac{M_x}{M}= \frac{\sum m_k y_k}{\sum m_k}$$
이제 얇고 평평한 판의 질량중심을 계산해 보자. 이때는 유한합 대신 적분을 해야 한다. 얇고 평평한 판을 $x$축과 $y$축 중 하나와 평행한 얇은 띠(strip)로 잘랐다고 상상해 보자. 이 얇은 띠의 질량중심을 $(\tilde{x}, \tilde{y})$라고 하자. 그리고 이 띠의 질량 $dm$이 점 $(\tilde{x}, \tilde{y})$에 집중되어 있다고 간주한다. 그러면 다음과 같은 식을 얻는다.

$$\bar{x} =\displaystyle \frac{M_y}{M} = \frac{\displaystyle \int \tilde{x} \, dm}{\displaystyle \int \, dm},$$

$$\bar{y}=\displaystyle \frac{M_x}{M}= \frac{\displaystyle \int \tilde{y} \, dm}{\displaystyle \int  dm}$$
만약 이 얇고 평평한 판의 질량 분포가 어떤 축을 중심으로 대칭을 이룬다면 질량 중심은 반드시 그 축 위에 존재한다. 만약 두 개의 대칭축이 있다면 질량중심은 그 두 축이 만나는 점에 위치하게 된다. 따라서 질량 분포에 따라 질량중심의 좌표 하나만 계산할 수도 있고 때에 따라서는 계산할 필요가 없을 수도 있다.

7. 무게중심(Centroid)
밀도가 일정할 때 어떤 물체의 질량중심의 위치는 그 물체의 기하학적 모양에 의해 결정된다. 밀도가 일정할 때의 질량중심을 무게중심이라고 부른다. 

예제. 반지름이 $a$인 반원 모양을 가진, 밀도 $\delta$가 일정하고 가는 철사의 무게중심을 구해 보자. 이 철사가 $y$축에 대칭일 경우, 질량 분포 역시 $y$축에 대칭이므로 $\bar{x}=0$이다. 이제 철사의 길이를 매우 작은 subarc로 나누어 보자. 그리고 질량중심이 $(\tilde{x}, \tilde{y})$인 구간을 고려해 보자. 원점과 $(\tilde{x}, \tilde{y})$를 잇는 반지름 선과 $x$축이 이루는 각도를 $\theta$라고 하면 $\tilde{y}=a \sin \theta$이다.

$(\tilde{x}, \tilde{y})$를 포함하는 subarc의 길이를 $ds$라고 하자. 그리고 이 subarc의 중심각을 $d\theta$로 놓을 경우, 해당 subarc의 길이는 $ds=a\,d\theta$로 나타낼 수 있다. 따라서 이 subarc의 질량은 $dm=\delta\,ds=\delta\,a\,d\theta$가 된다. 따라서

$$\bar{y}=\frac{\displaystyle \int \tilde{y}\, dm}{\displaystyle \int dm}= \frac{\displaystyle \int_{0}^{\pi} a \sin \theta \cdot \delta a \, d\theta}{\displaystyle \int_0^{\pi}\delta a \, d\theta} =\displaystyle\frac{2}{\pi}a$$

이다.  ■