Calculus - 10. 로그함수와 지수함수

1. 역함수와 도함수

정의. 함수 $f(x)$가 정의역(domain) $D$에서 일대일(one-to-one)라는 것은, $D$에 속하는 임의의 두 원소 $x_1,x_2$에 대하여 $x_1\ne x_2$이면 항상 $f(x_1) \neq f(x_2)$가 성립하는 것을 의미한다.

 

정의. $f$가 정의역 $D$에서 일대일 함수이고 이 때 치역(range)을 $R$이라고 하자. 역함수(inverse function) $f^{-1}$는 다음과 같이 정의된다. $$f^{-1}(b) = a \quad \text{if } f(a) = b.$$ 이때 $f^{-1}$의 정의역은 $R$이고, 치역은 $D$이다.

 

정리(역함수 미분법). 함수 $f$의 정의역이 어떤 구간 $I$이고, $f'(x)$가 $I$에서 존재하며 한 번도 0이 되지 않는다고 하자. 그러면 역함수 $f^{-1}$는 그 정의역(즉, $f$의 치역)의 모든 점에서 미분가능하다. 그리고 $f^{-1}$의 정의역에 속하는 점 $b$에서의 도함수 값은 $a=f^{-1}(b)$ 일 때 $f'$의 값의 역수와 값다:$$(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(f^{-1}(b))}.$$이는 아래와 같이 표현할 수도 있다. $$\left. \frac{df^{-1}}{dx} \right|_{x=b}=\frac{1}{\displaystyle \left. \frac{df}{dx} \right|_{x=f^{-1}(b)}}$$

 

2. 자연로그(Natural Logarithms)

자연로그는 Fundamental Theorem of Calculus를 이용해서 정의된다. 이와 같은 간접적인 접근 방식이 처음에는 다소 낯설게 느껴질 수 있지만, 로그 함수와 지수 함수의 핵심적인 성질들을 도출하는 데 있어 엄밀한 방법을 제공할 것이다.

 

2.1. 자연로그와 자연로그의 밑

정의(자연로그). 자연로그는 다음과 같이 정의되는 함수이다:$$\ln x = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} \, dt, \quad x > 0.$$

 

정의(자연로그의 밑). 수 $e$는 자연로그 함수의 정의역에 속하는 수로서 다음 조건을 만족하는 값이다:$$ \ln(e) = \int_{1}^{e} \frac{1}{t} \, dt = 1. $$앞으로 여기에서 정의된 $e$는 '수 $e$' 또는 '자연로그의 밑'으로 부를 것이다.

 

2.2. 자연로그의 미분

Fundamental Theorem of Calculus Part 1에 따라 $$\frac{d}{dx} \ln x=\frac{1}{x}, \quad x>0$$을 얻을 수 있다. 만약 $u$가 $x$에 대해 미분가능하고 모든 값이 양수일 경우 $\ln u$는 정의된다. 이에 Chain Rule에 따라$$\frac{d}{dx}\ln u = \frac{1}{u} \, \frac{du}{dx}, \quad u>0$$을 얻을 수 있다. $u=|x|$일 경우 다음의 중요한 식을 얻게 된다:$$\frac{d}{dx}\,\ln |x| = \frac{1}{x}, \quad x \ne 0.$$

 

2.3. 자연로그의 대수적 성질

자연로그의 대수적 성질은 다음과 같다. 양수 $b>0$, $x>0$에 대하여 자연로그는 다음 성질들을 만족한다.

1. 곱셈 법칙(Product Rule): $\ln bx = \ln b + \ln x$
2. 나눗셈 법칙(Quotient Rule): $\ln \dfrac{b}{x} = \ln b - \ln x$
3. 역수 법칙(Reciprocal Rule): $\ln \dfrac{1}{x} = -\ln x$
4. 거듭제곱 법칙(Power Rule): $\ln x^r = r \ln x$, 이때 $r$은 실수

증명은 어렵지 않다. 우선 $\ln bx$와 $\ln x$의 도함수가 $1/x$로 같다는 사실에 주목해 보자. 그렇다면 어떤 상수 $C$에 대하여 $\ln bx=\ln x+C$로 쓸 수 있을 것이다. 그러나 지금 단계에서는 4번 성질 중 $r$이 유리수인 경우밖에 증명하지 못할 것이다. 하지만 다음 포스팅의 내용을 통해 $r$이 실수인 경우도 증명할 수 있다.

 

2.4. $\int 1/x \, dx$의 계산

2.2.로부터 다음 공식을 얻을 수 있다:$$\int\frac{1}{x} \, dx=\ln |x| + C.$$$u=f(x)$가 0이 아닌 미분가능한 함수일 때 $du=f'(x) dx$이고$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\, dx=\ln |f(x)| + C$$이다. 

 

2.5. 삼각함수의 적분

아래 적분의 integrand는 모두 $f'/f$ 꼴로 표현할 수 있다. 따라서 이들의 적분 결과에는 자연로그가 나온다.$$\begin{aligned}
    \int \tan x \, dx &=\ln |\sec x|+C \\
    \int \cot x \, dx &= \ln |\sin x|+C \\
    \int \sec x \, dx &= \ln |\sec x+\tan x|+C \\
    \int \csc x \, dx &= -\ln |\csc x + \cot x| +C
\end{aligned}$$

 

3. 지수함수(Exponential Functions)

지금까지 자연로그 $\ln x$를 소개했다. 이제 그 역함수인 지수함수 $\exp x=e^x$를 정의할 차례다.

 

3.1. 자연로그의 역함수

위에서 언급했듯이 자연로그의 역함수 $\ln^{-1} x$는 $\exp x$로 표기하기로 한다. 자연로그의 정의역이 $(0, \infty)$이고 치역이 $(-\infty, \infty)$이므로 지수함수의 정의역은 $(-\infty, \infty)$이고 치역은 $(0,\infty)$이다.

 

자연로그의 밑의 정의로부터 $\ln(e)=1$이다. 따라서 $e=\exp(1)$이다. 수 $e$는 양수이므로 모든 실수 $x$에 대하여 $e^x$도 양수이다. $e^x$에 자연로그를 취하면,$$\ln e^r = r \ln e=r.$$를 얻는다. 위 식의 양변에 $\ln^{-1}$를 취하면,$$e^x=\exp x$$임을 알 수 있다. 

 

정의. 모든 실수 $x$에 대하여, 자연지수함수(natural exponential function)는 $e^x=\exp x$로 정의한다.

 

3.2. 지수함수의 미분

자연지수함수는 도함수가 0이 되지 않는 미분가능한 함수 자연로그의 역함수이기 때문에 미분가능한 함수이다. 자연지수함수의 도함수와 적분 공식은 다음과 같다.$$\begin{aligned}
    \frac{d}{dx}e^x &= e^x, \\
    \int e^x \, dx &= e^x + C.
\end{aligned}$$증명. 자연로그와의 역함수 관계와 연쇄법칙을 이용한다.$$\begin{aligned}
    \ln (e^x) &=x \\
    \frac{d}{dx}\ln (e^x) &=1  \\
    \frac{1}{e^x}\cdot\frac{d}{dx}(e^x) &=1 \\
    \frac{d}{dx} e^x &= e^x.
    \end{aligned}$$

 

3.3. 지수법칙(Laws of Exponents)

모든 실수 $x$, $y$에 대하여 자연지수함수 $e^x$는 다음 법칙을 만족한다.

1. $e^x e^y = e^{x+y}$
2. $e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}$
3. $\dfrac{e^x}{e^y} = e^{x-y}$
4. $(e^x)^r = e^{rx}$, 이때 $r$은 실수

지수법칙을 증명하기 위해 $a=e^x$, $b=e^y$로 놓자. 그렇다면 $x=\ln a$이고 $y=\ln b$이다. 이제 위에서 살펴본 자연로그의 대수적 성질을 이용해 보자. 4번을 증명하기 위해서는 $y=(e^x)^r$로 놓고 양변에 자연로그를 취해 보자.

 

3.4. 수 $e$의 극한 표현

정리. 수 $e$는 아래와 같은 극한으로 계산할 할 수 있다:$$e=\lim_{x \to 0}(1+x)^{1/x}.$$만약 $f(x)=\ln x$이라면 $f'(x)=1/x$이므로 $f'(1)=1$이다. 미분의 정의에 따라,$$\begin{aligned}
    f'(1) &=\lim_{x \to 0} \frac{f(1+x)-f(1)}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1+x)}{x} \\
     & =\lim_{x \to 0} \ln (1+x)^{1/x}=\ln \left[\lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x}\right]=1.
    \end{aligned}$$이므로 $e=\lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x}$이다.

3.5. 지수함수의 일반적 형태

밑이 수 $e$가 아닌 일반적인 형태의 지수함수는 아래와 같이 정의할 수 있다.

정의. 임의의 $a>0$와 $x$에 대하여 밑이 $a$인 지수함수는 다음과 같이 정의한다.$$a^x=e^{x\ln a}$$

 

$a>0$일 때 $a^x$는 미분가능하며, 위의 정의와 Chain Rule을 적용하면 $$\frac{d}{dx} a^x = a^x \ln a$$를 얻는다. 따라서$$\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a}+C$$이다.

 

3.6. 밑이 $a$인 로그함수

정의. 임의의 양수 $a\ne 1$에 대하여, 밑이 $a$인 로그함수 $\log_a x$는 $a^x$의 역함수로 정의된다.

 

$\log_a x$와 $a^x$가 역함수의 관계에 있으므로 서로의 합성은 identity fucntion이 된다.$$\begin{aligned}
    a^{\log _a x} &= x \qquad \text{(}x>0\text{)} \\
    \log_a (a^x) &= x \qquad \text{(all }x\text{)}
\end{aligned}$$로그함수 $\log_a x$는 $\ln x$의 상수배에 불과하다. $y=\log_a x$라고 두면 $a^y=x$다. 양변에 자연로그를 취하면$$\log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}$$를 얻는다. 따라서 $\log_a x$는 2.3.에 기술한 자연로그의 대수적 성질과 같은 성질을 갖는다.

 

4. 정리

이 포스팅에서 처음으로 로그함수와 지수함수를 정의했다. 먼저 적분을 활용해서 자연로그를 정의했다. 자연로그 $\ln x$는 $t=1$ 부터 $t=x$까지 $y=1/t$ 그래프의 아랫넓이를 의미한다. 여기에서 수 $e$는 그 넓이가 1이 되게끔 하는 $x$값이다. 자연지수함수는 자연로그의 역함수로서 정의했다. 그리고 밑이 수 $e$가 아닌 일반적인 형태의 지수함수를  정의했다. 마지막으로 밑이 $a$인 로그함수 $\log_a x$는 일반적인 형태의 지수함수 $a^x$의 역함수로 정의했다.