Calculus - 11. 로피탈의 법칙과 역삼각함수

 

 

1. 부정형(Indeterminate Forms)과 로피탈의 법칙

함수의 극한이 $0/0$, $\infty\cdot 0$, $\infty-\infty$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$꼴일 때 우리는 이를 부정형이라고 부른다. 이 경우 일반적인 방식으로는 극한값을 구할 수 없고 로피탈의 법칙을 사용해야 한다. 로피탈의 법칙은 다음과 같다. 로피탈의 법칙은 $\infty/\infty$꼴에도 적용된다.

 

$0/0$과 $\infty/\infty$꼴 이외의 부정형의 경우 대수학적 방법을 사용하여 식을 변형한 후 로피탈의 법칙을 적용한다. 

 

2. 역삼각함수(Inverse Trigonometric Functions)

역삼각함수는 앞으로 나올 다양한 형태의 적분 계산에서 필수적으로 사용된다. 정의는 다음과 같다.

 

역삼각함수의 그래프는 다음과 같다.

자료: 나무위키

 

$y=\arcsin x$와 $y=\arctan x$의 그래프는 원점에 대해서 대칭이다. 따라서 arcsine과 arctangent 함수는 odd이다. 반면 $y=\operatorname{arccos} x$와 $y=\operatorname{arccot} x$의 그래프는 원점에 대해 대칭이 아니다.

 

Arcsine과 arccosine 함수 간에는 아래와 같은 항등식이 성립한다. Arcsine과 arccosine은 sine과 cosine의 역함수라는 사실을 기억하자. 첫 번재 항등식은 단위원을 그리면 쉽게 증명이 가능하다. 두 번째 항등식은 빗변의 길이가 1이고 다른 한 변의 길이가 $x$인 직각삼각형을 그려 보면 쉽게 증명이 가능하다.

 

다음은 역삼각함수의 미분 공식이다. 다소 생소할 수 있으나 역함수의 정리를 떠올린다면 쉽게 증명이 가능하다.

 

특히 마지막 세 공식은 외울 필요가 없다. 아래 항등식을 고려하면 위 세 공식에 마이너스(-)를 붙인 값에 불과하기 때문이다.

 

마지막으로 위의 미분 공식에 따라 아래 적분 공식도 유도할 수 있다.