Calculus - 12. 쌍곡선함수

1. 쌍곡선함수(Hyperbolic Functions)

Hyperbolic sine과 hyperbolic cosine은 다음과 같이 정의한다.

위 정의를 바탕으로 삼각함수의 명명법과 유사하게 나머지 4개의 쌍곡선함수를 정의할 수 있다. 그래프 개형은 다음과 같다.

 

쌍곡선함수는 다음과 같은 항등식을 만족한다. 삼각함수의 항등식과 차이점을 살펴보자.

 

다음으로 쌍곡선함수의 미분 공식이다.

이를 이용하면 다음과 같은 적분 공식도 도출할 수 있다.

 

2. 역쌍곡선함수

6개의 쌍곡선함수의 역함수는 적분에 있어 매우 유용하게 사용된다. 역삼각함수와 마찬가지로 domain과 range를 적절히 설정해 줘야 한다. 먼저 $y=\sinh^{-1}x$의 정의역은 $\infty<x<\infty$이다. $y=\cosh^{-1}x$의 정의역은 $x\ge 0$이다. $y=\tanh^{-1}x$의 경우 $-1<x<1$이다.

 

역쌍곡선함수의 정의로부터 다음과 같은 항등식이 성립한다.

3. 역쌍곡선함수의 미분과 적분

역함수의 정리를 사용하면 아래와 같은 결과를 얻을 수 있다.

 

따라서 역쌍곡선함수를 이용한 적분 공식은 다음과 같다.