초단기부터 초장기 데이터를 통해 본 금융시장의 추세와 평균 회귀

아래에서 소개할 Safari and Schmidhuber(2025)의 논문은 지난 포스팅 2026.03.07 - [투자전략] - 금융시장에서의 추세와 평균 회귀, 그리고 임계점의 후속편 격이다. 지난 포스팅에서는 지난 30년간의 일간 선물 가격 수익률을 대상으로 분석했다면 2025년 논문에서는 14년간의 틱 데이터, 330년간의 월별 자산 가격, 중세 이후의 연간 금융 데이터를 결합하여 추세와 그 되돌림을 분석했다. 분석 결과 수 시간에서 수 년 사이의 시간 스케일에서는 지난 포스팅에서 살펴본 패턴을 보인다는 점을 밝혀냈다.

 

1. 일중 데이터 분석

분석의 최소 단위는 2분으로 설정하고 이를 확장하여 총 6가지의 서로 다른 시간 스케일에서 어떤 패턴이 나타나는지 관찰한다. 관찰하는 시간 스케일은 모든 $k \in \{1,2,\dots,6\}$에 대하여 $T=2^k$분이다. 통계적 유의성을 높이기 위해 추세 강도 및 수익률을 모든 날짜에 대하여 합산한다. 또한 서로 다른 시간대에서 거래되는 서로 다른 시장과도 합산한다. 이는 장중 추세가 자산군 및 시간대와 무관하다는 가정을 전제한다.

 

2, 4, 8분의 짧은 시간 스케일에서 선물 가격은 반전한다. 이 현상은 선물 가격이 연속적이지 않고 특정 틱 사이즈(tick size)를 가진 이산적인 값이라는 점에서 설명이 가능하다. 그러나 틱 사이즈 효과를 제거하더라도 약한 추세는 즉각 반전되는 경향($b<0$)이 강하다. 

 

반면 한 시간 이상의 중기 추세부터는 선형항 계수($b$)가 양으로 바뀌며 일별 데이터 분석 결과와 동일하게 3차 다항식 모델이 패턴을 잘 설명한다. 즉 약한 추세 강도에서는 추세가 지속되고, 추세 강도가 커지면 추세가 반전되는 패턴이 나타난다. 

 

아래 왼쪽 그림은 초단기 시간 스케일 $k \le 4$에서 수익률과 추세 강도의 관계를 나타낸 것이다. 이 관계는 $\operatorname{tanh}$ 함수로 나타낼 수 있다. 이렇게 표현해도 강한 추세 영역에는 잘 들어맞지 않는다. 오른쪽 그림은 1시간에서 1일 사이의 시간 프레임에서의 수익률과 추세 강도의 관계를 나타낸 것이다. 이 경우 3차 다항식 모델이 패턴을 잘 설명한다.

 

2. 초장기 데이터 분석

이번에는 수년에서 수십 년에 이르는 매우 장기적인 시간 스케일에서 나타나는 추세와 평균 회귀의 관계를 알아본다. 아래 표에서 괄호 안 숫자는 각각의 데이터의 시작 연도이다. 

 

아래 그림은 특정 월의 추세 강도를 기준으로 다음 달 평균 수익률을 산점도로 나타낸 것이다. 왼쪽은 시간 스케일이 2년 이하인 경우, 오른쪽은 시간 스케일이 2년을 초과하는 경우이다.

 

장기 시계열에서도 일별 데이터에서 이미 관찰했던 것과 동일한 3차 다항식 형태를 명확하게 확인할 수 있다. 다만 2년 이상의 장기 시계열에서는 관계가 반대로 나타난다. 즉, 약한 추세에서 반전이 나타나고 강한 추세에서 그 추세가 지속되는 것이다.

 

이에 대한 해석으로는, 약한 장기 추세는 경기 순환에 따른 결과일 가능성이 높아 결국 평균으로 회귀하는 반면, 강한 장기 추세는 구조적 변화를 반영하기 때문에 지속된다고 볼 수 있다. 예를 들어 산업 혁신, 인구 변화, 자원 수급 변화 등이 있다.

 

3. 결론

논문은 초단기 데이터부터 초장기 데이터까지 얻은 관찰값을 하나로 결합하는 작업을 했다. 즉 논문은 수백 년 전이나 지금이나 시장이 움직이는 근본적인 메커니즘이 변하지 않았음을 보여주려 하는 것이다.

 

아래 그림은 분 단위부터 수십 년에 이르는 시간 스케일에서의 회귀 계수를 나타낸 것이다. 왼쪽 그림은 $T\le8$일의 시간 스케일, 오른쪽 그림은 $T\ge8$일의 시간 스케일에서 그린 그림이다. 2010년 이후의 틱 데이터, 1990년 이후의 일별 데이터, 1692년 이후의 월별 데이터들이 서로 다른 시간대를 포함하고 있음에도 오차 범위 내에서 자연스럽게 이어진다. 

 

다음은 결론의 내용을 요약한 것이다.

 

3.1. 초단기

선물 가격의 상승 틱 이후에 하락 틱이 뒤따르는 경향이 관찰되며, 그 반대의 경우도 마찬가지다. 이 효과는 시간 스케일이 짧을수록 더 강하게 나타나며 이는 틱 사이즈에서 비롯된 인위적인 현상으로 설명할 수 있다. 이 현상은 거래비용을 줄이는 데에는 활용될 수 있지만 수익성 있는 트레이딩 전략으로 활용되기는 어렵다. 따라서 분 단위 시장에서는 시장이 효율적인 것으로 보인다.

 

3.2. 15분 이하

틱 사이즈로 인한 평균 회귀 효과를 제거한 뒤에도 금융시장에서 약한 추세는 일반적으로 되돌려지는(revert) 경향을 보인다. 반면 강한 추세는 평균적으로 지속되는 경향이 있다. 이러한 짧은 시간 스케일에서는 5차 및 고차항까지도 통계적으로 유의하다. 다만 이들의 계수는 자산에 따라 달라지며 보편적이지 않다.

 

3.3. 30분~수 시간

틱 사이즈로 인한 평균 회귀 효과를 제외하면 보편적인 선형항 및 3차항을 포함한 회귀 모형으로 설명이 가능하다. 이는 일별 데이터에서 관찰된 패턴과 동일하다.

 

3.4. 수 시간~수일

작은 추세는 지속되는 경향을 보이고 강한 추세는 되돌림이 발생하는 경향을 보인다. 그리고 scale invariant하다는 특징도 갖는다. 즉 시간 스케일을 바꿔 분석해도 시장의 추세-반전 신호가 동일하게 유지된다고 할 수 있다. 또한 회귀계수는 자산이나 시간대에 의존하지 않는 보편적 특성을 가진다.

 

3.5. 수일~1년

모든 시장에서 추세가 약할 때는 지속되는 경향이 있고 추세가 너무 강해지면 평균 회귀하는 경향이 있다. 하지만 선형항 계수와 3차항 계수의 절댓값은 시간 스케일이 길어질수록 증가하며 약 6~12개월 구간에서 최댓값을 기록한다. 이는 모멘텀 및 평균 회귀 강도가 커진다는 의미다. 이러한 특징은 오랫동안 추세추종 전략에서 활용되어 왔다. 또한 6~12개월 구간에서 모멘텀 전략이 잘 작동한다는 경험적 사실과 일맥상통한다. 이 현상은 특정 자산에 의존하지 않는 보편적인 특성으로 보인다.

 

3.6. 수년~수십 년

수년에서 수십 년에 이르는 시간 스케일에서는 회귀계수의 크기가 점점 약해지고 약 2년 정도의 시점에서 부호가 바뀐다. 즉, 2년 이상의 시간 스케일에서 약한 추세는 되돌아가는 경향이 있고 강한 추세는 오히려 지속되는 경향이 있다. 이러한 현상은 경기 순환이나 장기적인 구조적 변화를 반영하는 것일 수 있다. 여기에서 경기 순환은 약한 추세를 의미하고 구조적 변화는 강한 추세를 의미한다.

 

참고:

• Sara A. Safari and Christof Schmidhuber, "Trends and Reversion in Financial Markets on Time Scales from Minutes to Decades", Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 566, 2025. (link)